Й¬а¦°йї - Особенность объектов общественных наук с точки зрения математики

25 November 2024

[Главная] [Поиск] [Форум] [Ссылки] [Линкотека] [Библиотека]

Авторы

А.Т.Фоменко и Г.В.Носовский

Книги

Другие материалы

Друзья
Художник В.Бигдай. Авторский сайт

Счетчики

Исправим ошибки!

Спонсор страницы

С. И. Валянский.
Теория информации и образование. Условия выживания России.

Особенность объектов общественных наук с точки зрения математики

Всегда считалось, что чем больше объем применения математики в той или иной науке, тем более она развита. Главным препятствием к применению математики считается, и вполне справедливо, – неразвитость процедуры квантификации в той или иной области знания. Говоря другими словами, как правило, не ясно, что и как мерить. Но это не единственное препятствие. Если мы даже знаем, что и как мерить, то возникает вопрос: какие типы закономерностей справедливы в данной области знания. И если, например, верны статистические, то не есть ли это следствие того, что мы чего-то не знаем?

Давайте возьмем физику – наиболее развитую с точки зрения применения математики науку. (Причина этого – простота объектов ее изучения.) Чтобы применять в ней математику, сначала заменяют реальные объекты их идеальными аналогами. Например, вводят некоторые идеальные, модельные объекты: материальную точку, идеальный газ, абсолютно твердое тело и т.д.

Кроме того, обнаруживаемые закономерности носят очень ограниченный характер. Например, существует, по меньшей мере, три механики – классическая, релятивистская и квантовая. И нельзя все задачи решать с помощью только одной из них. В этом случае будет невозможно решать целый класс практически важных задач из-за избыточной и не нужной сложности.

Помимо этого, математическое описание всегда ограничено и требует определенного разъяснения после получения решения. Например, оно совпадает с реальностью лишь с определенной точностью, так как математическая модель есть всегда некоторая идеализация.

И такие проблемы возникают при изучении достаточно простых объектов! А что же будет происходить при исследовании поведения сложных объектов, которые изучаются общественными науками? При попытке дать их математическое описание возникают дополнительные трудности. В чем же особенность применения математики в общественных науках? Для этого сначала опишем некоторые свойства объектов их изучения.

Во-первых, мы имеем дело с дискретными системами. Иногда это упрощает работу с такими объектами, так как позволяет применять ЭВМ, которая всегда оперирует с дискретными данными.

Во-вторых, объекты общественных наук существуют в ограниченных пространственных и временных интервалах. Это накладывает ограничения на применимость используемых для их анализа простых моделей. Допустим, для описания процессов, ограниченных во времени, используется суперпозиция синусов и косинусов, которые, в свою очередь, определены в интервале от минус до плюс бесконечности. При долгосрочных прогнозах это может стать источником неверных результатов, хотя ограниченная точность измерений не позволяет иногда заметить эту особенность.

В-третьих, следует иметь ввиду, что стационарное устойчивое существование этих объектов требует постоянного потока вещества и энергии. Если же этого не будет, то становится невозможным существование самого объекта, что существенно отличает их от объектов неживой природы. Т.е. устойчивые образования, изучаемые общественными науками, всегда находятся в неравновесных условиях.

В-четвертых, объекты общественных наук всегда эволюционируют в условиях ограниченных ресурсов. А это значит, что уравнения, описывающие их поведение, являются принципиально нелинейными. Это имеет целый ряд последствий. Например, попытки прогноза и попытки восстановления их эволюции приводят к неоднозначности в силу основного свойства нелинейных систем – их неустойчивости. Ясно, например, что невозможно сколь угодно долго наблюдать конус, стоящий на острие, хотя решение, соответствующее такому состоянию, существует. В связи с этим можно сформулировать следующее положение: решения любой динамической задачи реализуются в действительности, только если они устойчивы. А это значит, что механический процесс может стать необратимым во времени, если он сам или обратный ему процесс неустойчивы.

При достижении динамической системой состояния неустойчивости большое значение приобретают внешние воздействия, так как абсолютно изолированных систем в природе не бывает. Если система сильно неустойчива, отклик ее на сколь угодно малое воздействие с течением времени становится значительным. При этом реальная фазовая траектория будет радикально отличаться от расчетной, потому что ни величину, ни направление исчезающе малых возмущений нельзя ни предсказать, ни измерить.

В неустойчивых системах меняется представление о причине явления. В динамических системах причина и следствие считаются явлениями одного порядка. В неустойчивых системах причина – не начальные возмущения, а сама неустойчивость системы.

Неустойчивость – причина того, что в динамической системе появляется вероятность. Исчезающе малые возмущения, как правило, не поддаются динамическому анализу; ни величину их, ни направление нельзя ни предсказать, ни измерить. Система из динамических переходит в класс вероятностных.

Самоорганизация социальных систем во времени и в пространстве включает такие процессы, как увеличение и усложнение элементов, составляющих рассматриваемую систему, изменение режимов ее поведения и адаптация их к изменяющимся условиям их существования.

Процесс самоорганизации сопровождается нарушением (изменением) симметрии системы и увеличением количества используемой ценной информации. Последняя при этом может либо возникать заново, либо рецептироваться (приниматься) из какого-нибудь «хранилища» (например, других социальных систем).

Наиболее адекватным аппаратом для описания процессов самоорганизации является теория динамических систем. Действительно, в этой теории естественно возникает иерархия параметров (в частности, характерных времен процессов), усложнение симметрии за счет бифуркаций, усложнение и увеличение числа стационарных состояний (т.е. режимов функционирования), возможность увеличения информации, запасаемой в системе.

Динамика социальных систем может идти как в условиях полного перемешивания, когда пространственные эффекты не проявляются, так и с изменением пространственной структуры системы, когда сказываются ограничения, накладываемые явлениями переноса. В первом случае достаточно использовать точечные модели, во втором – необходимы распределенные. Поэтому приходится рассматривать эти процессы раздельно, в силу разности математического подхода. Но при этом следует помнить, что в природе они тесно переплетаются в пространстве и времени.

С помощью точечных моделей можно описать процессы выбора или отбора исходной информации, например, возникновения информации, представляющей социальную ценность. Это модели дифференциации общества, например, усложнения и увеличения числа возможных режимов его функционирования. Модели регуляции социальных циклов – развитие государства как взаимодействие различных социальных групп одинакового уровня, а также примыкающие к ним модели социальной защиты, например, адаптации социальных структур к изменяющимся условиям. Во всех этих случаях пространственные эффекты существенной роли не играют.

Поведение точечной автономной модели в большинстве случаев описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

(i = 1,2,3,…n),

где F_i(x₁,x₂…x_n) – нелинейные функции. В общем случае задачу достаточно решить лишь приближенно и этого вполне хватает для качественной картины процесса.

В простейших случаях качественное построение фазового портрета в принципе возможно, если определены особые точки, предельные циклы и сепаратрисы.

Эволюция системы во времени описывается точками на траектории в фазовом пространстве. Особые точки – это те точки, в которых все F_i(x₁,x₂…x_n) одновременно принимают нулевое значение. В них может пересекаться несколько и даже бесконечно много интегральных кривых. По-другому, это точки положения равновесия.

Если система не меняет своего поведения при малых деформациях особых точек, качественные выводы являются общими и остаются справедливыми, даже если параметры модели определены не точно или варьируются от случая к случаю. Это свойство называется «грубостью системы», по терминологии академика А.А. Андронова.

В результате эволюции возможны два сценария развития системы – отбор или выбор одного варианта из нескольких возможных.

Под термином «отбор» понимается выживание «наилучшего» (наиболее приспособленного).

Если исходная система мультистационарна и имеет соизмеримые по объему области притяжения, отделенные друг от друга сепаратрисами, то «выбор» – это случайный процесс, в результате которого реализуется одно из возможных состояний в той или иной области притяжения. При этом выживают далеко не самые лучшие. Реализация ситуации «выбора» есть пример возникновения информации.

Непосредственной причиной перехода к очередному этапу является истощение запасов, общих для предыдущего этапа, и выбор новых ресурсов. Но при этом должны срабатывать некие «бюрократические» механизмы, препятствующие (затрудняющие) переключение и тем самым предохраняющие структуру от поспешных «решений».

Для социальных систем интересна задача перевода их из одного устойчивого состояния в другое. Это можно сделать двумя способами. Первый, называемый силовым, заключается в том, что на систему действуют так, чтобы перевести изображающую точку (точка на эволюционной кривой в фазовом пространстве) через сепаратрису, и тем самым выводят её из одного устойчивого состояния и переводят в другое. Этот способ назван так потому, что он соответствует изменению динамической переменной под действием внешнего импульса (силового воздействия). Второй способ называется параметрическим. Его суть в том, что перевод из одного состояния в другое можно осуществить за счет изменения параметра. Это приводит к тому, что фазовый портрет системы изменяется так, что система сама начинает движение в сторону нового состояния, и когда она пройдет достаточное расстояние, фазовый портрет восстанавливают. Время перехода в этом случае должно быть достаточным для перехода системы в новое состояние, и оно больше, чем в случае силового переключения. Но параметрическое переключение энергетически более выгодно, чем силовое.

Развитие социальных систем состоит из этапов бурного развития, зарождения новой формы, сменяющихся плавными стадиями, в течение которых эта форма закрепляется и совершенствуется. Перед началом дифференциации существенно повышается вариабельность этих систем.

Может показаться, что из всего выше сказанного следует неприменимость математики в общественных науках, или, по крайней мере, бессмысленность ее применения в большинстве случаев. Но это не так.

На протяжении всей истории человечества люди пытались свести сложные явления к более простым, найти минимальное количество «первокирпичиков», из которых можно было бы построить все остальное. Попытки найти первоосновы природы привели к пониманию того, что мир строится не из неких общих первичных элементов (таковых нет), а строится по единым принципам (единым сценариям). То есть единство мира заключается не в том, что он построен из одних и тех же первоэлементов, а в том, что он построен по единому сценарию. А это, в свою очередь, значит, что важен, на самом деле, не конкретный вид уравнения, а типы решений, которые могут в нем содержаться. Их определенная типология. То есть, важна классификация решений.

Главный из принципов исследования социальных систем – построение и исследование простейших, или базовых, моделей, описывающих суть явления и позволяющих получить достаточно общие качественные результаты. Это есть следствие «общности сценариев развития», заложенных в построении самих сложных систем разной природы. Следует строить системы максимально простыми для целей наилучшего управления ими при условии выполнения заданной для данной системы функции.

Упрощение системы идет по линии эффективной редукции (упрощения) исходной системы, уменьшения числа уравнений и числа динамических переменных.

Методы редукции – это сведение системы, содержащей большое число дифференциальных уравнений (и, следовательно, переменных) к более простой системе из меньшего числа уравнений. Редуцированную систему уравнений называют базовой. От неё требуется, во-первых, чтобы она описывала основные черты рассматриваемого явления, во- вторых, чтобы она содержала минимальное число переменных и параметров, и в-третьих, чтобы она была «грубой» в смысле Андронова. Последнее означает, что при малом изменении параметров и слабом расширении базовой системы (то есть добавлении высших производных и/или новых членов с малыми коэффициентами), решения должны меняться мало.

Теоретической основой процедуры редукции является теорема А.Н. Тихонова [296]. Редукция основана на временной иерархии. В процессах самоорганизации в живой природе временная организация наблюдается практически всегда. Тому есть причины. Дело в том, что задачи моделирования и самоуправления во многом сходны, и временная иерархия необходима и для того, и для другого.

Отсюда следует, на первый взгляд, парадоксальный вывод: построение математических моделей живых самоорганизующихся систем – задача более простая, чем моделирование процессов в неживой природе. Возможно, именно с этим связаны успехи синергетики в биологии, экологии и социальных науках.

При этом точные расчеты оказываются, зачастую, бессмысленны, в силу свойства нелинейных систем переходить в неустойчивый режим. Иначе говоря, из-за возникновения режима стахостизации. Чтобы отслеживать нужную траекторию развития в этом хаосе, нужно задавать с огромной точностью начальные условия и отслеживать параметры системы. А очень часто точность измерения имеет вполне конкретные ограничения, преодолеть которые невозможно.

В силу дискретности объектов общественных наук обеспечить точность выше некоторой предельной не удается. А контроль параметров эволюции с высокой точностью приведет к тому, что сам этот контроль будет способствовать изменению изучаемой системы. То есть точные измерения переводят исходную систему совсем в другое состояние, отличное от исходного. Не говоря уже об огромных энергетических затратах для таких измерений. А для описания этой новой, измененной, системы возникнут все те же проблемы, что и в начальном случае.

Все это накладывает определенную специфику на применение математики в общественных науках. Но вовсе не нужно копировать путь применения математики, например, в физике. Более того, для социальных систем более продуктивным является опыт применения математики в биологии.

< Пред.		След. >

[Главная]

© 2001-2024. Все материалы сайта являются интеллектуальной собственностью их авторов.
Права на электронные версии - Кирилл Люков, http://imperia.lirik.ru.
Публикация, перепечатка без разрешения правообладателя, цитирование без указания автора - запрещены.
Сделано в Лаборатории сайтов